VEKTOR, JENIS VEKTOR, OPERASI VEKTOR DAN CONTOH SOALNYA

-

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar/nilai dan arah. Secara geometris vektor digambarkan sebagai ruas garis berarah, dengan panjang ruas garis menyatakan besar vektor dan arah ruas garis menyatakan arah vektor .


Jenis – Jenis Vektor

Vektor juga memiliki beberapa jenis tersendiri, yaitu sebagai berikut.


Vektor Posisi

Vektor Posisi adalah vektor yang titik awalnya di titik 0 (0,0) dan titik ujungnya di A (a1, a2). 

Vektor 0 (Nol)

Vektor 0 adalah vektor yang panjangnya nol dan dinotasikan

Vektor 0

Vektor nol tidak memiliki arah vektor yang jelas.

Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan dari 

Vektor Satuan v

adalah

Vektor Satuan Uv

Vektor di R2

Panjang sebuah segmen garis yang menyatakan vektor  atau dinotasikan sebagai Panjang vektor sebagai :

Vector R2
Vektor R2

Panjang vektor tersebut ialah dapat dikaitkan dengan sudut θ yang dibentuk oleh vektor dan sumbu x positif.

Vector R2 Kuadrat
Panjang Vektor

Operasi di Vektor di R2

Penjumlahan Vektor 

2 vektor atau lebih dapat dijumlahkan dan hasilnya dapat disebut resultan. 

Penjumlahan vektor secara aljabar dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan komponen yang juga seletak. Jika

Penjumlahan Vektor

Maka

Penjumlahan Vektor a+b

Secara grafis, penjumlahan vektor dapat dilihat pada gambar dibawah :

Gambar Vektor

Sifat – sifat penjumlahan vektor adalah sebagai berikut.

Sifat Penjumlahan Vektor

Pengurangan Vektor 

Dalam pengurangan vektor, berlaku sama dengan penjumlahan yaitu sebagai berikut:

Pengurangan Vektor

Perkalian Vektor dengan Skalar

Suatu vektor dapat dikalikan dengan suatu skalar (bilangan real) dan akan menghasilkan suatu vektor baru. 

Jika v adalah vektor dan k merupakan skalar. Maka perkalian vektor dapat dinotasikan:

Perkalian Vektor

Keterangan:

Keterangan Perkalian Vektor

Secara grafis perkalian ini dapat merubah panjang vektor. Lihat tabel berikut.

Tabel Perkalian Vektor

Perkalian vektor  dengan skalar k dapat dirumuskan sebagai berikut:

Rumus Perkalian Vektor

Perkalian Skalar 2 Vektor

Perkalian skalar dua vektor dapat disebut juga sebagai hasil kali titik dua vektor, ditulis sebagai berikut:

Cara Baca Notasi Perkalian Vektor


Contoh Soal Vektor

1

Diketahui ada titik A(1, 3, 5), titik B(4, 6, 2), dan titik C(m, n, -5). Apabila titik A, B, dan C segaris maka tentukan nilai p + q !

Penyelesaian :

Jika titik – titik A, B, dan C segaris maka vektor AB dan vektor  AC bisa juga searah atau berlainan arah. 

Sehingga akan ada bilangan m yang merupakan sebuah kelipatan dan bisa membentuk persamaan berikut ini :

Contoh Vektor 1

Jika B ada diantara titik A dan C, maka 

Contoh Vektor 2

Sehingga

Contoh Vektor 3
Contoh Vektor 4

Maka kelipatan m dalam persamaan dapat ditemukan sebagai berikut

Contoh Vektor 5

m . (-3) = -9, maka m = 3

Dengan subsitusi nilai m, akan diperoleh:

m . 3 = p – 1, maka p= -8

m . 3 = q – 3, maka q= -6

Jadi,

                                                                p + q = – 8 – 6 = – 14


2

Diketahui titik A(2,4,6), titik B(6,6,2), dan titik C(p,q,-6). Jika titik A, B, dan C segaris maka tentukan nilai p+q.

Penyelesaian :

Jika titik-titik A, B, dan C segaris maka vektor \bar{AB} dan vektor \bar{AC} bisa searah atau berlainan arah. Sehingga akan ada bilangan m yang merupakan sebuah kelipatan dan membentuk persamaan

  • m.\bar{AB} = \bar{AC}

Jika B berada diantara titik A dan C, diperoleh:

  • \bar{AB} + \bar{BC} = \bar{AC}

sehingga:

\bar{AB} = \left(\begin{array}{r} 6-2\\ 6-4\\ 2-6\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 4\\ 2\\ -4\end{array}\right)

\bar{AC} = \left(\begin{array}{r} p-2\\ q-4\\ -6-6\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} p-2\\ q-4\\ -12\end{array}\right)

Maka kelipatan m dalam persamaan:

m.\bar{AB} = \bar{AC}

m.\left(\begin{array}{r} 4\\ 2\\ -4\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} p-2\\ q-4\\ -12\end{array} \right)

-4.m = (-12) \rightarrow m = 3

Diperoleh:

  • 2.m = (q - 4) \rightarrow 6 = (q - 4)
    q = 10
  • 4.m = (p - 2) \rightarrow 12 (p - 2)
    p = 14

disimpulkan:

p+q=10+14=24




Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

DALIL SEGMEN GARIS PADA MASALAH GEOMETRI DAN CONTOH SOALNYA

-
Gambar
Konsep Dasar Garis Garis AB adalah himpunan tak terbatas dari titik-titik yang membentang tanpa henti di kedua arah, tetapi satu baris. Segmen garis AB adalah bagian dari garis AB dan memiliki panjang terbatas (titik A dan B sebagai batas). Dalil Dalil 1 : (Sifat kongruen segmen garis) Sifat kongruen segmen garis adalah refleksi, simetri dan transitif Refleksi : Untuk setiap garis AB berlaku AB ≡ AB Simetri : Jika AB ≡ CD, maka CD ≡ AB Transitif : Jika AB ≡ CD, dan CD ≡ EF maka AB ≡ EF Dalil 4 : Dua garis tidak berpotongan pada lebih dari satu titik Pada gambar di dibawah AEB dan CED berpotongan di titik D dan tidak berpotongan dititik lain. Dalil 5 : Jika terdapat sebuah titik pada suatu garis hanya dapat dibuat satu garis tegak lurus melalui garis tersebut Dalil 6 : Untuk setiap dua titik berbeda, hanya ada satu bilangan real positif, yaitu panjang segmen garis yang menghubungkan dua titik. Pada gambar diatas, untuk titik A dan B yang berbeda, hanya ada satu bilangan real positif, di...
Baca selengkapnya

MASALAH KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN VEKTOR

-
Gambar
Vektor merupakan besaran yang memiliki nilai dan arah. Penerapan vektor banyak ditemui dalam kehidupan sehari-hari. Misalkan seseorang ingin menyeberang sungai menggunakan perahu dengan kecepatan x m/s (meter per sekon). Dengan adanya arus sungai mengakibatkan jarak yang ditempuh tidak sama dengan lebar sungai. Arus pada sungai mengakibatkan perahu agak terseret sehingga jaraknya semakin jauh dan waktu yang ditempuh juga semakin lama. Contoh penerapan vektor antara lain kecepatan arus sungai dan kecepatan perahu karena keduanya memiliki kecepatan dan arah sehingga arah akan mempengaruhi resultan vektor. Contoh Penerapan Vektor Orang terjun payung.  Disaat penerjun menjatuhkan diri dari pesawat, tempat ia jatuh tidak tepat di bawah kapal, tetapi jauh melenceng. Hal ini dikarena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin. Perahu yang menyeberangi sungai.  Ketika perahu menyeberangi sebuah sungai, maka kecepatan gerak perahu yang sebenarnya merupakan kecepa...
Baca selengkapnya

OPERASI VEKTOR DAN CONTOH SOALNYA

-
Gambar
Macam Macam sekaligus Operasi Vektor Vektor matematika tak hanya terdiri dari beberapa jenis saja, namun vektor matematika juga terdiri dari beberapa macam. Nah beriktu akan kami berikan macam-macam vektor beserta dengan operasinya sekaligus, simak baik-baik ya: Vektor di R2  Panjang dari suatu segmen garis yang menyebutkan vektor dilambangkan dengan memakai  atau dapat juga dinotasikan dengan menggunakan simbol | Berikut ini panjang dari vektor yaitu seperti berikut ini: Panjang vektor sendiri adalah bentuk yang bisa dihubungkan dengan sudut ∅  yang dapat dengan mudah untuk dibentuk oleh vektor serta juga sumbu positif. Operasi Vektor di  R2  ⇒ Proses penjumlahan dan juga Pengurangan Vektor di R2  Resultan adalah sebutan dari hasil penjumlahan yang dilakukan pada dua vektor atau pun lebih. Penjumlahan pada vektor ini sendiri juga dapat dilakukan secara aljabar serta juga dapat dilakukan dengan memakai cara menjumlahkan komponen yang berada di posisi sama a...
Baca selengkapnya