SOAL PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA DAN SIFAT-SIFATNYA

$1.$ Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan
${}^2\log (2x-3)<3$ adalah . . . .
  $A.x>\frac{3}{2}$
  $B.x<\frac{3}{2}$
  $C.x<\frac{11}{2}$
  $D.\frac{3}{2}<x<\frac{11}{2}$
  $E.x>\frac{11}{2}$

${\displaystyle \frac{\mathrm{<br>}}{}}$

JAWAB : D

${}^{}\log (2x-3)<3$
Syarat basis:
Syarat basis sudah terpenuhi karena basis atau bilangan
pokok adalah $2>0dan\ne 1$.

Syarat numerus:
$2x-3>0$
$2x>3$
$x>\frac{3}{2}$ . . . . *

Syarat pertidaksamaan:
${}^{2}log(2x-3)<{}^{2}log8$
Karena bilangan pokok atau basis > 1,
maka pertidaksamaan logaritma menjadi:
$2x-3<8$
$2x<11$
$x<\frac{11}{2}$ . . . . **

$(\ast )\cap (\ast \ast )\to \frac{3}{2}<x<\frac{11}{2}$

${\displaystyle \frac{\mathrm{<br>}}{}}$

2. Jika 

${}^{2}lo{g}^{2}x-{7.}^{2}logx+10<0$, maka nilai
  $x$ yang memenuhi adalah . . . .
  $A.x<4$
  $B.0<x<4$
  $C.-2<x<16$
  $D.4<x<32$
  $E.x>32$

JAWAB : D

${}^{}lo{g}^{2}x-{7.}^{2}logx+10<0$

Syarat numerus:
$x>0$ . . . . *

Misalkan ${}^{2}logx=p$
Pertidaksamaan logaritma menjadi:
$p^2-7p+10<0$
$(p-2)(p-5)<0$
$2<p<5$
$2<{}^{2}logx<5$
${}^{2}log4<{}^{2}logx<{}^{2}log32$
$4<x<32$ . . . . **

$(\ast )\cap (\ast \ast )\to 4<x<32$

$\mathrm{<br>}$

3. Himpunan penyelesaian dari

  $log(x^2+4x+4)\le log(5x+10)$ adalah . . . .
  $A.\{x|-2<x\le 3\}$
  $B.\{x|x<3\}$
  $C.\{x|-3<x<2\}$
  $D.\{x|x\le -2ataux\ge 3\}$
  $E.\{x|-2\le x\le 3\}$

JAWAB : A

$log(x^2+4x+4)\le log(5x+10)$

Syarat numerus:
$\left(i\right).x^2+4x+4>0$
$(x+2{)}^2>0$ → selalu memenuhi jika $x\ne -2$ . . . . *

$\left(ii\right).5x+10>0$
$5x>-10$
$x>-2$ . . . . **

Syarat pertidaksamaan:
Karena basis adalah $10>1$, maka pertidaksamaan
logaritma menjadi:
$x^2+4x+4\le 5x+10$
$x^2-x-6\le 0$
$(x+2)(x-3)\le 0$
$-2\le x\le 3$ . . . . ***

$(\ast )\cap (\ast \ast )\cap (\ast \ast \ast )\to -2<x\le 3$

$\mathrm{<br>}$

4. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan:

  $2logx\le log(x+3)+log4$ adalah . . . .
  $A.\{x|-2\le x\le 6\}$
  $B.\{x|x>6\}$
  $C.\{x|0<x\le 6\}$
  $D.\{x|0<x\le 2\}$
  $E.\{x|0<x<2ataux=6\}$

JAWAB : C

$2logx\le log(x+3)+log4$

Syarat numerus:
$\left(i\right).x>0$ . . . . *

$\left(ii\right).x+3>0$
$x>-3$ . . . . **

Syarat pertidaksamaan:
$log{x}^2\le log(x+3).4$
Karena basis adalah $10>1$, maka pertidaksamaan
logaritma menjadi:
$x^2\le 4x+12$
$x^2-4x-12\le 0$
$(x+2)(x-6)\le 0$
$-2\le x\le 6$ . . . . ***

$(\ast )\cap (\ast \ast )\cap (\ast \ast \ast )\to 0<x\le 6$

$\mathrm{<br>}$

5. Nilai-nilai x yang memenuhi: 

${}^{2}logx-{}^{x}log2>0$
  adalah . . . .
  $A.x>2$
  $B.x>1$
  $C.\frac{1}{2}<x<1ataux>2$
  $D.-1<x<0ataux>1$
  $E.1<x<2$

JAWAB : C

${}^{}logx{-}^{x}log2>0$

Syarat basis dan numerus:

$x>0danx\ne 1$ . . . . *

${}^{2}logx-\frac{1}{{}^{2}logx}>0$
Misalkan ${}^{2}logx=p$
$p-\frac{1}{p}>0$
$\frac{p^2-1}{p}>0$
$(p+1)p(p-1)>0$
$-1<p<0$ atau $p>1$
$-1{<}^{2}logx<0$ atau ${}^{2}logx>1$
${}^{2}log\frac{1}{2}{<}^{2}logx{<}^{2}log1$ atau ${}^{2}logx{>}^{2}log2$
$\frac{1}{2}<x<1$ atau $x>2$ . . . . **

$(\ast )\cap (\ast \ast )\to \frac{1}{2}<x<1$ atau $x>2$

6. Nilai-nilai t yang memenuhi: 

$4{(}^{\frac{1}{2}}logt){<}^{\frac{1}{2}}log81$
  adalah . . . .
  $A.t<3$
  $B.-3<t<3$
  $C.0<t<3$
  $D.-3<t<0$
  $E.t<-3ataut>3$

JAWAB : E

$4{(}^{\frac{1}{2}}logt){<}^{\frac{1}{2}}log81$

${}^{\frac{1}{2}}log{t}^4{<}^{\frac{1}{2}}log81$

Syarat numerus:
$t^4>0$
Selalu memenuhi untuk $t\ne 0$ . . . . *

${(}^{\frac{1}{2}}log{t}^4){<}^{\frac{1}{2}}log81$
$t^4>81$
$t^4-81>0$
$(t^2+9)(t^2-9)>0$
$t^2+9$ definit positif.
$(t^2-9)>0$
$(t+3)(t-3)>0$
$t<-3$ atau $t>3$ . . . . **

$\left(1\right)\cap \left(2\right)\to t<-3$ atau $t>3$

$\mathrm{<br>}$