PROYEKSI ORTOGONAL DAN PANJANG PROYEKSI BERSAMA CONTOH SOALNYA

-

 

Proyeksi ortogonal adalah cara pandang mata pada sebuah objek yang ditarik garis tegak lurus pada sebuah bidang datar. Terdapat dua proyeksi ortogonal yang akan di bahas pada pembahasan kali ini, yaitu proyeksi skalar dan vektor ortogonal. Perhatikan gambar dua proyeksi vektor dengan arah yang berbeda pada gambar di bawah

Proyeksi Skalar dan Proyeksi Vektor Ortogonal


Proyeksi Skalar Ortogonal

Proyeksi skalar ortogonal biasa disebut juga dengan proyeksi panjang vektor ortogonal. Dalam kata lainnya, objek proyeksi adalah panjang vektor. Rumus untuk menghitung panjang proyeksi skalar vektor ortogonal adalah sebagai berikut.

  1. Proyeksi skalar ortogonal \vec{a} pada arah vektor \vec{b}.

      \[ \left| \vec{c} \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ \left| \vec{b} \right| } \]

  2. Proyeksi skalar ortogonal \vec{b} pada arah vektor \vec{a}.

      \[ \left| \vec{c} \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ \left| \vec{a} \right| } \] 

Proyeksi Vektor Ortogonal

Objek pada proyeksi skalar vektor ortogonal adalah panjang proyeksi vektor. Sedangkan pada proyeksi vektor ortogonal yang menjadi objek utamanya adalah vektornya. Vektor hasil proyeksi dapat ditentukan melalui rumus berikut.
 

  1. Proyeksi vektor ortogonal \vec{a} pada \vec{b}.

      \[ \vec{c} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{b} \right| ^{2} } \cdot \vec{b} \]

  2. Proyeksi vektor ortogonal \vec{b} pada \vec{a}.

      \[ \vec{c} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{a} \right| ^{2} } \cdot \vec{a} \]

    3.  
     

    Contoh Soal dan Pembahasan

    1. Diketahui vektor u = i + 2j - 3 k dan v = 2i - 3j - 6 k. Proyeksi skalar dari u pada v adalah...
    A. 1

    B. 2
    C. 3
    D. 4
    E. 5

    Pembahasan
    Hitung terlebih dahulu |v|
    |v| = √(22 + (- 3)2 + (- 6)2) = √4 + 9 + 36 = √49 = 7
    Menghitung u . v
    u . v = 1 . 2 + 2 . - 3 + - 3 . - 6 = 2 - 6 + 18 = 14
    Maka proyeksi skalar u pada v = u . v / |v| = 14 / 7 = 2
    Jawaban: B


    2. Diketahui vektor u = i + 2j - 3 k dan v = 2i - 3j - 6 k. Proyeksi vektor u pada v adalah...

    A. 4i + 6j - 12k
    B. 4i - 6j + 12k
    C. 4i - 6j - 12k
    D. 4i + 6j + 12k
    E. 2i - 3j - 6k

    Pembahasan
    Hitung terlebih dahulu |v|
    |v| = √(22 + (- 3)2 + (- 6)2) = √4 + 9 + 36 = √49 = 7
    Menghitung u . v
    u . v = 1 . 2 + 2 . - 3 + - 3 . - 6 = 2 - 6 + 18 = 14
    Proyeksi vektor u pada v = (u . v) v / |v|2 = 14 / 7 v = 2 (2i - 3j - 6k) = 4i - 6j - 12k
    Jawaban: C

    3. Panjang proyeksi ortogonal vektor \vec{a} = (p, 2, 4) pada \vec{b} = (2, p, 1) adalah 4. Nilai p adalah ….

      \[ \textrm{A.} \; \; \; -4 \]

      \[ \textrm{B.} \; \; \; -2 \]

      \[ \textrm{C.} \; \; \; - \frac{1}{2} \]

      \[ \textrm{D.} \; \; \; \frac{1}{2} \]

      \[ \textrm{E.} \; \; \; 2 \]

    Pembahasan:
    Mencari panjang vektor b:

      \[ \left| \vec{b} \right| = \sqrt{2^{2} + p ^{2} + 1^{2}} \]

      \[ \left| \vec{b} \right| = \sqrt{4+ p ^{2} + 1} \]

      \[ \left| \vec{b} \right| = \sqrt{p ^{2} + 5} \]

    Beradasrkan rumus proyeksi skalar (proyeksi panjang) ortogonal vektor dapat diperoleh persamaan berikut.

      \[ \left| \vec{c} \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|} \]

      \[ 4 = \frac{(p, 2, 4)(2, p, 1)}{\sqrt{p^{2}+5}} \]

      \[ 4 = \frac{2p + 2p + 4}{\sqrt{p^{2}+5}} \]

      \[ 4 = \frac{4p + 4}{\sqrt{p^{2}+5}} \]

      \[ 4 = \frac{4(p + 1)}{\sqrt{p^{2}+5}} \]

      \[ 1 = \frac{p + 1}{\sqrt{p^{2}+5}} \]

      \[ \sqrt{p^{2}+5} = p + 1 \]

      \[ p^{2}+5 = (p + 1)^{2} \]

      \[ p^{2}+5 = p^{2} + 2p + 1 \]

      \[ 5 = 2p + 1 \]

      \[ 2p = 5 - 1 \]

      \[ 2p = 4 \rightarrow p=\frac{4}{2} = 2 \]

    Jawaban: E

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

DALIL SEGMEN GARIS PADA MASALAH GEOMETRI DAN CONTOH SOALNYA

-
Gambar
Konsep Dasar Garis Garis AB adalah himpunan tak terbatas dari titik-titik yang membentang tanpa henti di kedua arah, tetapi satu baris. Segmen garis AB adalah bagian dari garis AB dan memiliki panjang terbatas (titik A dan B sebagai batas). Dalil Dalil 1 : (Sifat kongruen segmen garis) Sifat kongruen segmen garis adalah refleksi, simetri dan transitif Refleksi : Untuk setiap garis AB berlaku AB ≡ AB Simetri : Jika AB ≡ CD, maka CD ≡ AB Transitif : Jika AB ≡ CD, dan CD ≡ EF maka AB ≡ EF Dalil 4 : Dua garis tidak berpotongan pada lebih dari satu titik Pada gambar di dibawah AEB dan CED berpotongan di titik D dan tidak berpotongan dititik lain. Dalil 5 : Jika terdapat sebuah titik pada suatu garis hanya dapat dibuat satu garis tegak lurus melalui garis tersebut Dalil 6 : Untuk setiap dua titik berbeda, hanya ada satu bilangan real positif, yaitu panjang segmen garis yang menghubungkan dua titik. Pada gambar diatas, untuk titik A dan B yang berbeda, hanya ada satu bilangan real positif, di...
Baca selengkapnya

MASALAH KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN VEKTOR

-
Gambar
Vektor merupakan besaran yang memiliki nilai dan arah. Penerapan vektor banyak ditemui dalam kehidupan sehari-hari. Misalkan seseorang ingin menyeberang sungai menggunakan perahu dengan kecepatan x m/s (meter per sekon). Dengan adanya arus sungai mengakibatkan jarak yang ditempuh tidak sama dengan lebar sungai. Arus pada sungai mengakibatkan perahu agak terseret sehingga jaraknya semakin jauh dan waktu yang ditempuh juga semakin lama. Contoh penerapan vektor antara lain kecepatan arus sungai dan kecepatan perahu karena keduanya memiliki kecepatan dan arah sehingga arah akan mempengaruhi resultan vektor. Contoh Penerapan Vektor Orang terjun payung.  Disaat penerjun menjatuhkan diri dari pesawat, tempat ia jatuh tidak tepat di bawah kapal, tetapi jauh melenceng. Hal ini dikarena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin. Perahu yang menyeberangi sungai.  Ketika perahu menyeberangi sebuah sungai, maka kecepatan gerak perahu yang sebenarnya merupakan kecepa...
Baca selengkapnya

OPERASI VEKTOR DAN CONTOH SOALNYA

-
Gambar
Macam Macam sekaligus Operasi Vektor Vektor matematika tak hanya terdiri dari beberapa jenis saja, namun vektor matematika juga terdiri dari beberapa macam. Nah beriktu akan kami berikan macam-macam vektor beserta dengan operasinya sekaligus, simak baik-baik ya: Vektor di R2  Panjang dari suatu segmen garis yang menyebutkan vektor dilambangkan dengan memakai  atau dapat juga dinotasikan dengan menggunakan simbol | Berikut ini panjang dari vektor yaitu seperti berikut ini: Panjang vektor sendiri adalah bentuk yang bisa dihubungkan dengan sudut ∅  yang dapat dengan mudah untuk dibentuk oleh vektor serta juga sumbu positif. Operasi Vektor di  R2  ⇒ Proses penjumlahan dan juga Pengurangan Vektor di R2  Resultan adalah sebutan dari hasil penjumlahan yang dilakukan pada dua vektor atau pun lebih. Penjumlahan pada vektor ini sendiri juga dapat dilakukan secara aljabar serta juga dapat dilakukan dengan memakai cara menjumlahkan komponen yang berada di posisi sama a...
Baca selengkapnya