SUDUT ANTAR VEKTOR PADA BIDANG BERDIMENSI DUA DAN BERDIMENSI TIGA BERSAMA CONTOH SOALNYA

Sudut antara dua vektor di bidang

Misalkan vektor a⃗ =(x1y1)$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)$ dan vektor b⃗ =(x2y2)$\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)$ adalah vektor – vektor di bidang yang dinyatakan dalam bentuk vektor kolom. Sudut antara dua vektor di bidang adalah:

cosθ=x1x2+y1y2x21+y21√x22+y22√$\cos \theta =\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$

Sudut antara dua vektor di ruang

Yang dimaksud dengan vektor di ruang adalah vektor dengan komponen tiga dimensi yaitu x, y, dan z. misalkan terdapat dua vektor tiga dimensi, yaitu:

a⃗ =⎛⎝⎜x1y1z1⎞⎠⎟$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\\ z_1\end{array}\right)$ Dan a⃗ =⎛⎝⎜x2y2z2⎞⎠⎟$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\\ z_2\end{array}\right)$

Jika θ$\theta$ menyatakan besar sudut antara vektor a dan vektor b, maka kosinus sudut kedua vektor tersebut dinyatakan dengan rumus:

cosθ=x1x2+y1y2+z1z2x21+y21+z21√x22+y22+z22√$\cos \theta =\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$

Rasanya kita akan kebingungan kalau misalnya kalau misalnya kita membahas hal ini dengan teori dan rumusnya saja, artinya tanpa contoh – contoh soal. Baik agar apa yang sudah kita bahas bisa kita pahami dengan baik, perhatikan contoh – contoh soal di bawah ini!.

Contoh 1:

Diketahui a⃗ =⎛⎝⎜21−3⎞⎠⎟$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -3\end{array}\right)$ Dan b⃗ =⎛⎝⎜−13−2⎞⎠⎟$\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ -2\end{array}\right)$. besar sudut antara vektor a dan vektor b adalah ...

a. 60            c. 20            e. 100

b. 40            d. 80

Penyelesaian:

Pertama, yang kita cari adalah perkalian skalar antara dua vektor yaitu a.b

a⃗ .b⃗ =⎛⎝⎜21−3⎞⎠⎟.⎛⎝⎜−13−2⎞⎠⎟=2×(−1)+1×3+(−3)×(−2)=7$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -3\end{array}\right).\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ -2\end{array}\right)=2\times (-1)+1\times 3+(-3)\times (-2)=7$

Kemudian setelah itu, agar sudut dua vektor tersebut bisa kita hitung kita harus mencari panjang atau besar dari masing – masing vektor yaitu vektor a dan vektor b. dan dalam pembahasan yang lalu kita sempat juga membahas bagaimana cara mencari panjang suatu vektor.

|a|=(2)2+(1)2+(−3)2−−−−−−−−−−−−−−−√=14−−√$\left|\mathbf{a}\right|=\sqrt{(2{)}^2+(1{)}^2+(-3{)}^2}=\sqrt{14}$

|b|=(−1)2+(3)2+(−2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−√=14−−√$\left|\mathbf{b}\right|=\sqrt{(-1{)}^2+(3{)}^2+(-2{)}^2}=\sqrt{14}$

Setelah itu barulah kita hitung sudut dari kedua vektor tersebut dengan terlebih dahulu menentukan nilai cosinusnya.

cosα=a⃗ .b⃗ |a|.|b|$\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|a|.|b|}$

cosα=714√.14√=714=12$\cos \alpha =\frac{7}{\sqrt{14}.\sqrt{14}}=\frac{7}{14}=\frac{1}{2}$

α=600